Šajā rakstā mēs aplūkosim plaknes taisnes parametrisko vienādojumu. Sniegsim taisnes parametriskā vienādojuma konstruēšanas piemērus, ja ir zināmi divi šīs taisnes punkti vai ir zināms viens punkts un šīs taisnes virziena vektors. Iesniegsim metodes vienādojuma pārveidošanai parametriskā formā kanoniskā un vispārīgā formā.

Parametriskais vienādojums taisni L plaknē tiek attēlots ar šādu formulu:

(1)

kur x 1 , y 1 kāda punkta koordinātas M 1 uz taisnas līnijas L... Vektors q={m, lpp) ir līnijas virziena vektors L, t- kāds parametrs.

Ņemiet vērā, ka rakstot taisnes vienādojumu parametriskā formā, taisnes virzošais vektors nedrīkst būt nulles vektors, tas ir, vismaz viena virzošā vektora koordināte. q nedrīkst būt nulle.

Lai izveidotu taisni uz plaknes Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā, kas noteikta ar parametru vienādojumu (1), pietiek ar parametra iestatīšanu t divas dažādas vērtības, aprēķiniet x un y un novelciet taisnu līniju caur šiem punktiem. Plkst t= 0 mums ir punkts M 1 (x 1 , y 1) plkst t= 1, mēs iegūstam punktu M 2 (x 1 +m, y 1 +lpp).

Sastādīt plaknes taisnes parametrisku vienādojumu L pietiek ar punktu uz taisnes L un taisnes vai divu punktu, kas pieder pie taisnes, virziena vektors L... Pirmajā gadījumā, lai izveidotu taisnas līnijas parametrisku vienādojumu, vienādojumā (1) jāievieto punkta koordinātas un virziena vektors. Otrajā gadījumā vispirms ir jāatrod taisnes virziena vektors q={m, lpp), aprēķinot punktu atbilstošo koordinātu atšķirības M 1 un M 2: m=x 2 −x 1 , lpp=y 2 −y 1 (1. att.). Tālāk, līdzīgi kā pirmajā gadījumā, viena punkta koordinātas (nav svarīgi, kurš) aizstāj ar virziena vektoru. q taisna līnija iekšā (1).

Piemērs 1. Taisne iet caur punktu M= (3, −1) un tam ir virziena vektors q= (- 3, 5). Izveidojiet taisnes parametrisko vienādojumu.

Risinājums. Lai izveidotu taisnas līnijas parametrisku vienādojumu, mēs aizstājam punkta koordinātas un virziena vektoru vienādojumā (1):

Vienkāršosim iegūto vienādojumu:

No izteiksmēm (3) mēs varam pierakstīt taisnas līnijas kanonisko vienādojumu plaknē:

Novietojiet šo taisnās līnijas vienādojumu kanoniskajā formā.

Risinājums: izsakiet parametru t caur mainīgajiem x un y:

(5)

No izteiksmēm (5) mēs varam rakstīt.

Ļaujiet l- dažas taisnas telpas līnijas. Tāpat kā planimetrijā, jebkurš vektors

a = / = 0, kolineārs taisns l tiek saukts virziena vektorsšī taisnā līnija.

Taisnes pozīciju telpā pilnībā nosaka, norādot virziena vektoru un punktu, kas pieder pie taisnes.

Lai tas ir taisni l ar virziena vektoru a iet caur punktu M 0, un M ir patvaļīgs telpas punkts. Acīmredzot punkts M (197. att.) pieder pie taisnes l tad un tikai tad, ja vektors \ (\ virslabā bultiņa (M_0 M) \) ir kolineārs pret vektoru a , t.i.

\ (\ augšējā labā bultiņa (M_0 M) \) = t a , t\ (\ in \) R. (1)

Ja punkti M un M 0 ir doti ar to rādiusa vektoriem r un r 0 (198. att.) attiecībā pret kādu telpas punktu O, tad \ (\ augšējā bultiņa (M_0 M) \) = r - r 0, un vienādojums (1) iegūst formu

r = r 0 + t a , t\ (\ in \) R. (2)

Tiek izsaukti vienādojumi (1) un (2). taisnes vektora parametru vienādojumi. Mainīgs t vektoru parametru vienādojumos līniju sauc parametrs.

Lai punkts M 0 ir taisne l un virziena vektoru a nosaka ar to koordinātām:

M 0 ( X 0 ; plkst 0 , z 0), a = (a 1 ; a 2 ; a 3).

Tad ja ( X; y; z) - taisnes patvaļīga punkta M koordinātas l, tad

\ (\ augšējā labā bultiņa (M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)

un vektora vienādojums (1) ir līdzvērtīgs šādiem trim vienādojumiem:

x - x 0 = tа 1 , y - y 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3

$$ \ sākums (gadījumi) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \; \; t \ in R \ end (gadījumi) (3) $$

Vienādojumus (3) sauc taisnes parametru vienādojumi kosmosā.

1. mērķis. Uzrakstiet parametru vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu

M 0 (-3; 2; 4) un kam ir virziena vektors a = (2; -5; 3).

Šajā gadījumā X 0 = -3, plkst 0 = 2, z 0 = 4; a 1 = 2; a 2 = -5; a 3 = 3. Aizvietojot šīs vērtības formulās (3), mēs iegūstam šīs taisnes parametriskos vienādojumus

$$ \ sākums (gadījumi) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​​​\; \; t \ in R \ end (gadījumi) $$

Izslēgsim parametru t no vienādojumiem (3). To var izdarīt kopš a = / = 0, un tāpēc viena no vektora koordinātām a ir zināms, ka tas atšķiras no nulles.

Pirmkārt, lai visas koordinātas nav nulle. Tad

$$ t = \ frac (x-x_0) (a_1), \; \; t = \ frac (y-y_0) (a_2), \; \; t = \ frac (z-z_0) (a_3) $$

un tāpēc

$$ \ frac (x-x_0) (a_1) = \ frac (y-y_0) (a_2) = \ frac (z-z_0) (a_3) \; \; (4) $$

Šos vienādojumus sauc taisnes kanoniskie vienādojumi .

Ņemiet vērā, ka vienādojumi (4) veido divu vienādojumu sistēmu ar trim mainīgajiem x, y un z.

Ja vienādojumos (3) viena no vektora koordinātām a , Piemēram a 1 ir vienāds ar nulli, tad, izņemot parametru t, mēs atkal iegūstam divu vienādojumu sistēmu ar trim mainīgajiem x, y un z:

\ (x = x_0, \; \; \ frac (y-y_0) (a_2) = \ frac (z-z_0) (a_3) \)

Šos vienādojumus sauc arī par kanoniskajiem līniju vienādojumiem. Konsekvences labad tie parasti tiek rakstīti formā (4)

\ (\ frac (x-x_0) (0) = \ frac (y-y_0) (a_2) = \ frac (z-z_0) (a_3) \)

pieņemot, ka, ja saucējs ir nulle, tad arī atbilstošais skaitītājs ir nulle. Šie vienādojumi ir taisnes vienādojumi, kas iet caur punktu M 0 ( X 0 ; plkst 0 , z 0) paralēli koordinātu plaknei yOz, jo šī plakne ir paralēla tās virziena vektoram (0; a 2 ; a 3).

Visbeidzot, ja vienādojumos (3) divas vektora koordinātas a , Piemēram a 1 un a 2 ir vienādi ar nulli, tad šie vienādojumi iegūst formu

X = X 0 , y = plkst 0 , z = z 0 + t a 3 , t\ (\ in \) R.

Tie ir taisnes vienādojumi, kas iet caur punktu M 0 ( X 0 ; plkst 0 ; z 0) paralēli asij Oz... Par tādu taisnu līniju X = X 0 , y = plkst 0, a z- jebkurš skaitlis. Un šajā gadījumā vienveidības labad taisnās līnijas vienādojumus var uzrakstīt (ar tādu pašu atrunu) formā (4)

\ (\ frac (x-x_0) (0) = \ frac (y-y_0) (0) = \ frac (z-z_0) (a_3) \)

Tādējādi jebkurai taisnai telpai var uzrakstīt kanoniskos vienādojumus (4) un, gluži pretēji, jebkuru formas (4) vienādojumu ar nosacījumu, ka vismaz viens no koeficientiem a 1 , a 2 , a 3 nav vienāds ar nulli, norāda kādu taisnu telpas līniju.

2. mērķis. Uzrakstiet kanoniskos vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu M 0 (- 1; 1, 7) paralēli vektoram a = (1; 2; 3).

Vienādojumus (4) šajā gadījumā raksta šādi:

\ (\ frac (x + 1) (1) = \ frac (y-1) (2) = \ frac (z-7) (3) \)

Atvasināsim vienādojumus taisnei, kas iet caur diviem dotiem punktiem M 1 ( X 1 ; plkst 1 ; z 1) un

M 2 ( X 2 ; plkst 2 ; z 2). Acīmredzot šīs līnijas virziena vektoram mēs varam ņemt vektoru a = (X 2 - X 1 ; plkst 2 - plkst 1 ; z 2 - z 1), un aiz punkta М 0, caur kuru taisne iet, piemēram, punkts M 1. Tad vienādojumi (4) tiks uzrakstīti šādi:

\ (\ frac (x-x_1) (x_2 - x_1) = \ frac (y-y_1) (y_2 - y_1) = \ frac (z-z_1) (z_2 - z_1) \) (5)

Tie ir taisnes vienādojumi, kas iet caur diviem punktiem M 1 ( X 1 ; plkst 1 ; z 1) un

M 2 ( X 2 ; plkst 2 ;z 2).

3. mērķis. Uzrakstiet vienādojumus tai taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (-4; 1; -3) un M 2 (-5; 0; 3).

Šajā gadījumā X 1 = -4, plkst 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, plkst 2 = 0, z 2 = 3. Šīs vērtības aizstājot formulās (5), mēs iegūstam

\ (\ frac (x + 4) (- 1) = \ frac (y-1) (- 1) = \ frac (z + 3) (6) \)

4. uzdevums. Uzrakstiet vienādojumus tai taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (3; -2; 1) un

M 2 (5; -2; 1/2).

Pēc punktu M 1 un M 2 koordināšu aizstāšanas vienādojumos (5), iegūstam

\ (\ frac (x-3) (2) = \ frac (y + 2) (0) = \ frac (z-1) (- \ frac (1) (2)) \)

Viens no tēmas "Taisnes vienādojums plaknē" apakšpunktiem ir jautājums par taisnstūra līnijas parametrisko vienādojumu sastādīšanu plaknē taisnstūra koordinātu sistēmā. Tālāk esošajā rakstā aplūkots šādu vienādojumu sastādīšanas princips ar noteiktiem zināmiem datiem. Parādīsim, kā pāriet no parametriskiem vienādojumiem uz cita veida vienādojumiem; Analizēsim tipisku uzdevumu risinājumu.

Konkrētu līniju var noteikt, norādot punktu, kas pieder šai līnijai, un līnijas virziena vektoru.

Pieņemsim, ka mums ir dota taisnstūra koordinātu sistēma O x y. Un arī taisne a ar uz tās esošā punkta M 1 (x 1, y 1) norādi un dotās taisnes virziena vektoru a → = (a x, a y) . Sniegsim dotās līnijas a aprakstu, izmantojot vienādojumus.

Mēs izmantojam patvaļīgu punktu M (x, y) un iegūstam vektoru M 1 M →; aprēķina tā koordinātas pēc sākuma un beigu punktu koordinātām: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1). Aprakstīsim rezultātu: taisne ir dota ar punktu kopu M (x, y), iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un tai ir virziena vektors. a → = (a x, a y) . Norādītā kopa definē taisni tikai tad, ja vektori M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) un a → = (a x, a y) ir kolineāri.

Ir nepieciešams un pietiekams nosacījums vektoru kolinearitātei, ko šajā gadījumā vektoriem M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) un a → = (ax, ay) var uzrakstīt formā vienādojums:

M 1 M → = λ · a →, kur λ ir kāds reāls skaitlis.

1. definīcija

Vienādojumu M 1 M → = λ · a → sauc par taisnes vektorparametrisko vienādojumu.

Koordinātu formā tam ir šāda forma:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Iegūtās sistēmas vienādojumus x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ sauc par taisnstūra koordinātu sistēmas plaknes taisnes parametriskajiem vienādojumiem. Nosaukuma būtība ir šāda: visu taisnes punktu koordinātas var noteikt ar parametriskiem vienādojumiem plaknē formā x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ, atkārtojot visas reālās vērtības. no parametra λ

Saskaņā ar iepriekš minēto, taisnes parametru vienādojumi plaknē x = x 1 + ax vektors a → = (a x, a y) . Tāpēc, ja ir dotas kāda taisnes punkta koordinātas un tās virziena vektora koordinātas, tad ir iespējams uzreiz pierakstīt dotās taisnes parametriskos vienādojumus.

1. piemērs

Ir nepieciešams sastādīt taisnstūra līnijas parametriskos vienādojumus plaknē taisnstūra koordinātu sistēmā, ja ir dots tai piederošais punkts M 1 (2, 3) un tā virziena vektors. a → = (3, 1).

Risinājums

Pamatojoties uz sākotnējiem datiem, mēs iegūstam: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Parametriskie vienādojumi būs šādi:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Skaidri ilustrēsim:

Atbilde: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Jāņem vērā: ja vektors a → = (a x, a y) kalpo kā taisnes a virziena vektors, un punkti M 1 (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2) pieder šai taisnei, tad to var noteikt, norādot parametru vienādojumus forma: x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ, kā arī šī opcija: x = x 2 + ax λ y = y 2 + ay λ.

Piemēram, mums ir dots taisnas līnijas virzošais vektors a → = (2, - 1), kā arī punkti М 1 (1, - 2) un М 2 (3, - 3), kas pieder šai līnijai. Tad taisne tiek noteikta ar parametru vienādojumiem: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ vai x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.

Jāpievērš uzmanība sekojošam faktam: ja a → = (a x, a y) ir taisnes a virziena vektors, tad tās virziena vektors būs jebkurš no vektoriem μ a → = (μ a x, μ a y), kur μ ϵ R, μ ≠ 0.

Tādējādi taisnstūrveida koordinātu sistēmā plaknes taisni a var noteikt ar parametru vienādojumiem: x = x 1 + μax λ y = y 1 + μ a y λ jebkurai μ vērtībai, kas nav nulle.

Pieņemsim, ka taisne a ir dota ar parametru vienādojumiem x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Tad a → = (2, - 5) - šīs līnijas virziena vektors. Un arī jebkurš no vektoriem μ a → = (μ 2, μ - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 kļūs par virziena vektoru dotajai taisnei. Skaidrības labad apsveriet konkrētu vektoru - 2 a → = (- 4, 10), tas atbilst vērtībai μ = - 2. Šajā gadījumā doto līniju var noteikt arī ar parametru vienādojumiem x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ.

Pāreja no plaknes taisnes parametriskajiem vienādojumiem uz citiem noteiktas taisnes vienādojumiem un otrādi

Dažu uzdevumu risināšanā parametrisko vienādojumu izmantošana nav optimālākais variants, tad rodas nepieciešamība pārtulkot taisnes parametriskos vienādojumus cita veida taisnes vienādojumos. Apskatīsim, kā to izdarīt.

Taisnes formas x = x 1 + ax · λ y = y 1 + ay · λ parametriskie vienādojumi atbildīs taisnes kanoniskajam vienādojumam plaknē x - x 1 ax = y - y 1 a y. .

Atrisināsim katru parametrisko vienādojumu attiecībā pret parametru λ, pielīdzināsim iegūto vienādību labās puses un iegūsim dotas taisnes kanonisko vienādojumu:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Šajā gadījumā nevajadzētu būt apkaunotam, ja x vai a y ir vienāds ar nulli.

2. piemērs

Nepieciešams veikt pāreju no taisnes x = 3 y = - 2 - 4 · λ parametriskajiem vienādojumiem uz kanonisko vienādojumu.

Risinājums

Dotos parametriskos vienādojumus rakstām šādā formā: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Izteiksim parametru λ katrā no vienādojumiem: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Pielīdzināsim vienādojumu sistēmas labās puses un iegūsim nepieciešamo taisnes kanonisko vienādojumu plaknē:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Atbilde: x - 3 0 = y + 2 - 4

Gadījumā, ja ir nepieciešams pierakstīt taisnes vienādojumu formā A x + B y + C = 0, kamēr ir doti plaknes taisnes parametriskie vienādojumi, vispirms ir jāizdara pāreja uz kanonisko vienādojumu un pēc tam uz taisnās līnijas vispārējo vienādojumu. Pierakstīsim visu darbību secību:

x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ λ = x - x 1 ax λ = y - y 1 ay ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ⇔ ay (x - x 1) = asis (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

3. piemērs

Ir nepieciešams pierakstīt taisnes vispārīgo vienādojumu, ja ir doti to definējošie parametru vienādojumi: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Risinājums

Vispirms veiksim pāreju uz kanonisko vienādojumu:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Iegūtā proporcija ir identiska vienādībai - 3 · (x + 1) = 2 · y. Atvērsim iekavas un iegūstam taisnes vispārīgo vienādojumu: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.

Atbilde: 3 x + 2 g + 3 = 0

Ievērojot augstāk minēto darbību loģiku, lai iegūtu taisnes ar slīpumu vienādojumu, taisnes vienādojumu nogriežņos vai taisnes normālu vienādojumu, ir jāiegūst vispārējais taisnes vienādojums. , un no tā veikt turpmāku pāreju.

Tagad mēs apsvērsim pretējo darbību: taisnas līnijas parametrisko vienādojumu rakstīšanu citai noteiktai šīs taisnes vienādojumu formai.

Vienkāršākā pāreja: no kanoniskā vienādojuma uz parametru. Dots kanoniskais vienādojums ar formu: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Mēs pieņemam, ka katra no šīs vienādības attiecībām ir vienāda ar parametru λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Atrisināsim iegūtos vienādojumus mainīgajiem x un y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

4. piemērs

Ir nepieciešams pierakstīt taisnes parametriskos vienādojumus, ja ir zināms taisnes kanoniskais vienādojums plaknē: x - 2 5 = y - 2 2

Risinājums

Zināmā vienādojuma daļas pielīdzina parametram λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. No iegūtās vienādības iegūstam taisnes parametriskos vienādojumus: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Atbilde: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Ja nepieciešams veikt pāreju uz parametriskiem vienādojumiem no noteikta taisnes vispārīgā vienādojuma, taisnes vienādojuma ar slīpumu vai taisnes vienādojuma segmentos, sākotnējais vienādojums ir jāsamazina uz kanonisko, un pēc tam veikt pāreju uz parametriskajiem vienādojumiem.

5. piemērs

Ir nepieciešams pierakstīt taisnes parametriskos vienādojumus ar zināmo šīs taisnes vispārīgo vienādojumu: 4 x - 3 y - 3 = 0.

Risinājums

Doto vispārīgo vienādojumu mēs pārveidojam par kanoniskās formas vienādojumu:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 g + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 g + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Pielīdzināsim abas vienādības puses parametram λ un iegūsim vajadzīgos taisnes parametriskos vienādojumus:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Atbilde: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Piemēri un uzdevumi ar plaknes taisnes parametriskajiem vienādojumiem

Apsveriet visbiežāk sastopamos problēmu veidus, izmantojot taisnstūra līnijas parametriskos vienādojumus plaknē taisnstūra koordinātu sistēmā.

1. Pirmā tipa uzdevumos punktu koordinātas ir norādītas neatkarīgi no tā, vai tie pieder pie parametru vienādojumu aprakstītas taisnes vai nē.

Šādu uzdevumu risinājuma pamatā ir šāds fakts: skaitļi (x, y), kas noteikti no parametru vienādojumiem x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ kādai reālai vērtībai λ ir piederoša punkta koordinātes. līdz taisnajai līnijai aprakstīja šos parametriskos vienādojumus.

6. piemērs

Nepieciešams noteikt koordinātas punktam, kas atrodas uz taisnes, kas noteikta ar parametru vienādojumu x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ pie λ = 3.

Risinājums

Mēs aizvietojam dotajos parametriskajos vienādojumos zināma nozīmeλ = 3 un aprēķiniet vajadzīgās koordinātas: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Atbilde: 1 1 2 , 5

Iespējama arī šāda problēma: lai taisnstūra koordinātu sistēmas plaknē ir dots kāds punkts M 0 (x 0, y 0) un jānosaka, vai šis punkts pieder pie taisnes, kas aprakstīta ar parametru vienādojumiem x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ.

Lai atrisinātu līdzīgu problēmu, ir jāaizstāj dotā punkta koordinātas ar zināmajiem taisnes parametru vienādojumiem. Ja tiek noteikts, ka iespējama tāda parametra vērtība λ = λ 0, pie kuras ir patiesi abi parametru vienādojumi, tad dotais punkts pieder pie dotās taisnes.

7. piemērs

Punkti M 0 (4, - 2) un N 0 (- 2, 1) ir noteikti. Jānoskaidro, vai tie pieder pie taisnes, ko nosaka parametru vienādojumi x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ.

Risinājums

Aizvietojiet punkta М 0 (4, - 2) koordinātas dotajos parametriskajos vienādojumos:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Mēs secinām, ka punkts М 0 pieder noteiktai taisnei, jo atbilst vērtībai λ = 2.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Acīmredzot nav tāda parametra λ, kuram atbilstu punkts N 0. Citiem vārdiem sakot, dotā taisne neiet caur punktu N 0 (- 2, 1).

Atbilde: punkts М 0 pieder noteiktai taisnei; punkts N 0 nepieder noteiktai taisnei.

1. Otrā tipa uzdevumos ir jāsastāda parametriski vienādojumi taisnei uz plaknes taisnstūra koordinātu sistēmā. Vienkāršākais šādas problēmas piemērs (ar zināmām taisnes punkta koordinātām un virziena vektoru) tika aplūkots iepriekš. Tagad apskatīsim piemērus, kuros vispirms jāatrod virziena vektora koordinātas un pēc tam jāpieraksta parametru vienādojumi.

8. piemērs

Punkts M 1 1 2, 2 3 ir norādīts. Ir nepieciešams izveidot parametriskus vienādojumus taisnei, kas iet caur šo punktu un ir paralēla taisnei x 2 = y - 3 - 1.

Risinājums

Pēc uzdevuma nosacījuma taisne, kuras vienādojums mums ir jāapsteidz, ir paralēla taisnei x 2 = y - 3 - 1. Tad kā taisnes, kas iet caur doto punktu, virzošo vektoru var izmantot taisnes virziena vektoru x 2 = y - 3 - 1, ko rakstām formā: a → = (2, - 1). Tagad mēs zinām visus nepieciešamos datus, lai izveidotu nepieciešamos parametru vienādojumus:

x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Atbilde: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ.

9. piemērs

Punkts M 1 (0, - 7) ir iestatīts. Nepieciešams pierakstīt parametriskos vienādojumus taisnei, kas iet caur šo punktu, perpendikulāri taisnei 3 x - 2 y - 5 = 0.

Risinājums

Kā taisnes, kuras vienādojums jāsastāda, virzošo vektoru var ņemt taisnes normālu vektoru 3 x - 2 y - 5 = 0. Tās koordinātas ir (3, - 2). Pierakstīsim nepieciešamos taisnes parametru vienādojumus:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Atbilde: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. Trešā tipa uzdevumos ir jāveic pāreja no noteiktas taisnes parametriskajiem vienādojumiem uz cita veida vienādojumiem, kas to nosaka. Mēs izskatījām šādu piemēru risinājumu iepriekš, mēs sniegsim vēl vienu.

10. piemērs

Ir dota taisne uz plaknes taisnstūra koordinātu sistēmā, ko nosaka parametru vienādojumi x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. Ir jāatrod jebkura šīs taisnes normālā vektora koordinātas.

Risinājums

Lai noteiktu vajadzīgās normālā vektora koordinātas, mēs veiksim pāreju no parametriskajiem vienādojumiem uz vispārējo vienādojumu:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Mainīgo x un y koeficienti dod mums nepieciešamās normālā vektora koordinātas. Tādējādi taisnes x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ normālvektoram ir koordinātas 1, 3 4.

Atbilde: 1 , 3 4 .

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Noteikti izlasi šo rindkopu! Parametriskie vienādojumi, protams, nav telpiskās ģeometrijas alfa un omega, bet gan daudzu uzdevumu darba skudra. Turklāt šāda veida vienādojumi bieži tiek piemēroti negaidīti, un es teiktu graciozi.

Ja ir zināms taisnei piederošs punkts un dotās taisnes virziena vektors, tad šīs taisnes parametriskos vienādojumus dod sistēma:

Es nodarbībās runāju par pašu parametrisko vienādojumu jēdzienu Taisnes līnijas vienādojums plaknē un Parametriski dotas funkcijas atvasinājums.

Viss ir vienkāršāk par tvaicētu rāceņu, tāpēc jums ir jāpabeidz uzdevums:

7. piemērs

Risinājums: Taisnes tiek dotas ar kanoniskiem vienādojumiem, un pirmajā posmā jāatrod kāds punkts, kas pieder taisnei un tās virziena vektoram.

a) No vienādojumiem noņemam punktu un virziena vektoru:. Jūs varat izvēlēties citu punktu (kā to izdarīt - aprakstīts iepriekš), bet labāk ir ņemt acīmredzamāko. Starp citu, lai izvairītos no kļūdām, vienmēr vienādojumos aizstājiet tās koordinātas.

Sastādām šīs taisnes parametriskos vienādojumus:

Parametrisko vienādojumu ērtība ir tāda, ka ar to palīdzību ir ļoti viegli atrast citus taisnes punktus. Piemēram, atradīsim punktu, kura koordinātas, teiksim, atbilst parametra vērtībai:

Pa šo ceļu:

b) Apsveriet kanoniskos vienādojumus. Punkta izvēle šeit ir vienkārša, bet sarežģīta: (esiet uzmanīgi, nesajauciet koordinātas!!!). Kā izvilkt virziena vektoru? Varat spekulēt par to, kam šī līnija ir paralēla, vai arī varat izmantot vienkāršu formālu triku: "spēle" un "z" ir proporcionāli, tāpēc mēs pierakstām virziena vektoru un atlikušajā vietā ievietojam nulli:.

Sastādām taisnes parametriskos vienādojumus:

c) Pārrakstīsim vienādojumus formā, tas ir, "z" var būt jebkas. Un ja ir, tad lai, piemēram,. Tādējādi punkts pieder šai līnijai. Lai atrastu virziena vektoru, mēs izmantojam šādu formālu tehniku: oriģinālajos vienādojumos ir "x" un "spēle", un virziena vektorā šajās vietās mēs rakstām nulles:. Mēs ievietojam atlikušo vietu vienība:. Viena vietā derēs jebkurš skaitlis, kas nav nulle.

Uzrakstīsim taisnes parametriskos vienādojumus:

Apmācībai:

8. piemērs

Izveidojiet parametru vienādojumus šādām taisnēm:

Risinājumi un atbildes nodarbības beigās. Jūsu saņemtās atbildes var nedaudz atšķirties no manām atbildēm, fakts ir tāds parametriskos vienādojumus var uzrakstīt vairāk nekā vienā veidā... Ir svarīgi, lai jūsu un manējie virzienu vektori būtu kolineāri, un jūsu punkts "iekļautos" maniem vienādojumiem (labi, vai otrādi, es runāju par jūsu vienādojumiem).

Kā vēl jūs varat iestatīt taisnu līniju telpā? Es gribētu kaut ko izdomāt ar parasto vektoru. Tomēr skaitlis nedarbosies, telpiskajai līnijai normālie vektori var izskatīties pilnīgi dažādos virzienos.

Vēl viena metode jau tika minēta nodarbībā. Plaknes vienādojums un šī raksta sākumā.

LEŅĶIS STARP PLAKNĒM

Apsveriet divas plaknes α 1 un α 2, kas attiecīgi dotas ar vienādojumiem:

Zem leņķis starp divām plaknēm mēs domājam vienu no divšķautņu leņķiem, ko veido šīs plaknes. Acīmredzot leņķis starp normāliem vektoriem un plaknēm α 1 un α 2 ir vienāds ar vienu no norādītajiem blakus esošajiem divskaldņu leņķiem vai ... Tātad ... Jo un , tad

.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp plaknēm x+2y-3z+ 4 = 0 un 2 x+3y+z+8=0.

Divu plakņu paralēlisma nosacījums.

Divas plaknes α 1 un α 2 ir paralēlas tad un tikai tad, ja to normālie vektori un ir paralēli, kas nozīmē .

Tātad divas plaknes ir paralēlas viena otrai tad un tikai tad, ja koeficienti attiecīgajās koordinātēs ir proporcionāli:

vai

Plakņu perpendikulitātes nosacījums.

Ir skaidrs, ka divas plaknes ir perpendikulāras tad un tikai tad, ja to normālie vektori ir perpendikulāri, un tāpēc vai.

Pa šo ceļu, .

Piemēri.

TAISNI KOSMOSĀ.

VEKTORLĪNIJAS VIENĀDOJUMS.

LĪNIJAS PARAMETRISKI VIENĀDĀJUMI

Taisnas līnijas novietojums telpā tiek pilnībā noteikts, norādot jebkuru no tās fiksētajiem punktiem M 1 un vektoru, kas ir paralēls šai taisnei.

Tiek saukts vektors, kas ir paralēls taisnei vadotšīs līnijas vektors.

Tātad, lai tas būtu taisni l iet cauri punktam M 1 (x 1 , y 1 , z 1) guļus uz taisnas līnijas, kas ir paralēla vektoram.

Apsveriet patvaļīgu punktu M (x, y, z) uz taisnas līnijas. Attēlā redzams, ka .

Vektori un ir kolineāri, tāpēc ir šāds skaitlis t, kas, kur ir faktors t atkarībā no punkta atrašanās vietas var iegūt jebkuru skaitlisku vērtību M uz taisnas līnijas. Faktors t sauc par parametru. Apzīmējot punktu rādiusu vektorus M 1 un M attiecīgi caur un, mēs saņemam. Šo vienādojumu sauc vektors taisnas līnijas vienādojums. Tas parāda, ka katrai parametra vērtībai t atbilst kāda punkta rādiusa vektoram M guļ uz taisnas līnijas.

Uzrakstīsim šo vienādojumu koordinātu formā. Ievērojiet, ka, un no šejienes

Iegūtos vienādojumus sauc parametrisks taisnas līnijas vienādojumi.

Mainot parametru t mainās koordinātas x, y un z un punkts M pārvietojas taisnā līnijā.

Kanoniski taisni vienādojumi

Ļaujiet M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ir punkts, kas atrodas uz taisnas līnijas l, un Vai tā virziena vektors. Atkal paņemiet patvaļīgu punktu uz taisnes M (x, y, z) un apsveriet vektoru.

Ir skaidrs, ka vektori un ir kolineāri, tāpēc to attiecīgajām koordinātām jābūt proporcionālām

– kanonisks taisnes vienādojumi.

1. piezīme.Ņemiet vērā, ka taisnās līnijas kanoniskos vienādojumus var iegūt no parametriskajiem vienādojumiem, izslēdzot parametru t... Patiešām, no parametru vienādojumiem mēs iegūstam vai .

Piemērs. Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu parametriskā formā.

Mēs apzīmējam , no šejienes x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. piezīme. Lai taisne ir perpendikulāra vienai no koordinātu asīm, piemēram, asij Vērsis... Tad virzošais vektors ir perpendikulārs Vērsis, tātad, m= 0. Līdz ar to taisnās līnijas parametriskie vienādojumi iegūst formu

Parametra izslēgšana no vienādojumiem t, iegūstam taisnās līnijas vienādojumus formā

Tomēr arī šajā gadījumā mēs piekrītam formāli rakstīt taisnās līnijas kanoniskos vienādojumus formā ... Tādējādi, ja vienas daļas saucējs ir nulle, tas nozīmē, ka līnija ir perpendikulāra attiecīgajai koordinātu asij.

Tāpat kanoniskie vienādojumi atbilst taisnei, kas ir perpendikulāra asīm Vērsis un Oy vai paralēli asij Oz.

Piemēri.

VISPĀRĒJIE VIENĀDĀJUMI TĪNIJAI KĀ DIVU LAKMEŅU KRUSTOJUMA LĪNIJAI

Caur katru telpas taisni iet neskaitāms plakņu skaits. Jebkuri divi no tiem, kas krustojas, definē to telpā. Līdz ar to jebkuru divu šādu plakņu vienādojumi, aplūkoti kopā, attēlo šīs taisnes vienādojumus.

Kopumā jebkuras divas neparalēlas plaknes, ko nosaka vispārīgie vienādojumi

definējiet to krustojuma līniju. Šos vienādojumus sauc vispārīgie vienādojumi taisni.

Piemēri.

Izveidojiet taisnu līniju, kas dota ar vienādojumu

Lai izveidotu taisnu līniju, pietiek atrast jebkurus divus tās punktus. Vienkāršākais veids ir izvēlēties līnijas krustošanās punktus ar koordinātu plaknes... Piemēram, krustošanās punkts ar plakni xOy iegūstam no taisnes vienādojumiem, uzstādījumu z= 0:

Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam būtību M 1 (1;2;0).

Līdzīgi uzstādot y= 0, iegūstam taisnes krustpunktu ar plakni xOz:

No taisnas līnijas vispārīgajiem vienādojumiem varat pāriet uz tās kanoniskajiem vai parametriskajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kāds punkts M 1 uz līnijas un līnijas virziena vektors.

Punkta koordinātas M 1 tiks iegūts no šīs vienādojumu sistēmas, piešķirot kādai no koordinātām patvaļīgu vērtību. Lai atrastu virziena vektoru, ņemiet vērā, ka šim vektoram jābūt perpendikulāram abiem normāliem vektoriem un ... Tāpēc aiz taisnes virzošā vektora l mēs varam ņemt normālu vektoru krustojumu:

.

Piemērs. Norādiet taisnās līnijas vispārīgos vienādojumus uz kanonisko formu.

Atrodiet punktu uz taisnas līnijas. Lai to izdarītu, mēs patvaļīgi izvēlamies vienu no koordinātām, piemēram, y= 0 un atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Taisni definējošo plakņu normāliem vektoriem ir koordinātas Tāpēc taisnes virzošais vektors būs

... Tāpēc l: .

LEŅĶIS STARP TAISNĒM

Stūris starp taisnēm telpā mēs sauksim jebkuru no blakus leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu, kas ir paralēls datiem.

Telpā dotas divas taisnas līnijas:

Acīmredzot leņķi starp taisnēm var uzskatīt par leņķi starp to virziena vektoriem un. Tā kā tad saskaņā ar formulu leņķa kosinusam starp vektoriem mēs iegūstam