Pašreizējā lapa: 3 (kopā grāmatai ir 9 lappuses) [pieejams lasīšanas fragments: 7 lpp.]
Fonts:
100% +
22. Sekcijas statiskais moments
Stiprības aprēķini liecina, ka spriedze un deformācija, kas rodas cietā ķermenī, ir atkarīga no iekšējā spēka faktoriem un šķērsgriezuma ģeometriskajiem raksturlielumiem. Piemēram, spriegumā spriegums ir atkarīgs no šķērsgriezuma laukuma, un, tā kā šajā gadījumā spriegums ir vienmērīgi sadalīts pa sekciju, tas nav atkarīgs no sekcijas formas. Vērpes laikā spriegumi ir atkarīgi no sekcijas izmēra un formas, jo spriegumu sadalījums ir nevienmērīgs. Sijas vērpes aprēķinu formulas ietver polārais inerces moments es lpp Un polārais pretestības moments W lpp- sekcijas ģeometriskie raksturlielumi. Aprēķinot sijas stiprību liecē, ir jāzina inerces momenti un sekcijas pretestības momenti attiecībā pret asīm, kas iet caur sijas smaguma centru. Ņemsim vērā noteiktu sijas posmu ar laukumu A un ass, kas iet caur šī ķermeņa smaguma centru. Plaknes sekcijas statiskais moments par kādu asi x ir griezumu veidojošo elementāro laukumu reizinājumu summa ar šo laukumu attālumiem līdz asij, kas iet caur smaguma centru. Līdzīgi asij y.
Statisko momentu mēra kubikmetros. Tas var būt pozitīvs, negatīvs vai nulle atkarībā no izvēlētās ass. Ja ir zināmi statiskie momenti un šķērsgriezuma laukums, tad smaguma centra koordinātas var noteikt kā statiskā momenta attiecību pret šķērsgriezuma laukumu. Un otrādi, ja ir zināmas posma smaguma centra koordinātas - x c , y c, statiskais moments ir vienāds ar šķērsgriezuma laukuma un attāluma no smaguma centra līdz asij reizinājumu.
S x=Jā c
Sy=Cirvis c
No iegūtajām attiecībām redzams, ka gadījumā, kad ass iet caur smaguma centru, statiskais moments ir nulle.
Gadījumā, ja šķērsgriezumu var uzskatīt par n- komponentu skaits ar zināmiem laukumiem A i un smaguma centru koordinātas x i , y i, visa smaguma centra stāvokli var definēt kā produktu summu:
Katrs vārds skaitītājā nosaka šīs sadaļas statisko momentu attiecībā pret izvēlēto asi.
23.Sekcijas inerces moments
Plaknes sekcijas aksiālais (vai ekvatoriālais) inerces moments par kādu asi x ir elementāro laukumu laukumu reizinājumu summa, kas veido šķērsgriezumu ar kvadrātu no šo laukumu attāluma līdz asij, kas iet caur smaguma centru. Tādējādi aksiālie momenti ir integrāļi visā šķērsgriezuma laukumā.
Polārais inerces moments attiecībā pret kādu punktu (polu) ir elementāro laukumu, kas veido sekciju, reizinājumu summa ar šo laukumu attāluma kvadrātu līdz izvēlētajam punktam.
centrbēdzes inerces moments attiecībā pret dažām divām savstarpēji perpendikulārām asīm ir griezumu veidojošo elementāro laukumu reizinājumu summa pēc šo laukumu attālumiem līdz šīm asīm.
Inerces momentus mēra m 4 . Aksiālie un polārie inerces momenti var būt tikai pozitīvi, jo jebkurai koordinātas zīmei formulā tiek ņemts šīs koordinātas kvadrāts. Centrbēdzes inerces moments var būt pozitīvs, negatīvs vai nulle.
Aksiālo inerces momentu summa par divām savstarpēji perpendikulārām asīm ir vienāda ar polāro inerces momentu ap punktu, kur šīs asis krustojas.
es ρ = es x +es y
Patiešām, ρ ir attālums no sekcijas elementārā laukuma līdz kādam punktam, tas tiek definēts kā trijstūra ar malām hipotenūza x Un y.
ρ 2 = x 2 + y 2
Mēs aizvietojam šo sakarību polārā inerces momenta izteiksmē un iegūstam:
24. Vienkāršu posmu inerces momenti
Apsveriet dažu vienkāršu figūru inerces momentus.
Aplis. es ρ = Es x +es y . Tā kā aplis ir simetriska figūra, tad I x = I y. Tāpēc es p = 2 Es x. Pamatojoties uz polārā inerces momenta definīciju un polāro inerces momentu un aksiālo inerces momentu saistību apļa gadījumā, mēs iegūstam:
Priekš gredzeni diametrs d un iekšējais diametrs d 0
Pusaplis. Galvenās centrālās asis ir šī pusloka simetrijas ass un tai perpendikulārā ass. Puslokam inerces moments ir uz pusi mazāks nekā riņķa moments tai pašai asij. Ja mēs iecelsim x 1 tad pamatass
No attiecības, kas savieno paralēlu asu inerces momentus, no kuriem viens ir centrālais, un, zinot pusloka smaguma centra ordinātu vērtību y c ≈ 0.424r jūs varat noteikt pusloka inerces momentus:
Taisnstūris. Definēsim inerces momentu es x1, kas sakrīt ar taisnstūra pamatni, un apsveriet sadaļu A kā elementāru platuma taisnstūru summa b un augstums dy 1 , A=bdy 1
Paralēlu asu inerces momentiem, no kuriem viena ir centrālā, es x =I x1 – a 2 A. Šajā gadījumā attālums a=h/ 2, A=bh, inerces moments attiecībā uz asīm x Un y
es x = bh 3 / 12
es y = hb 3 / 12
Konkrētajā kvadrāta gadījumā
es x =Es y = b 4 / 12
Priekš trīsstūris aprēķināt inerces momentu es x1, attiecībā pret asi x 1 , kas sakrīt ar pamatni, un šim nolūkam mēs uzskatām sekciju par elementāru platuma taisnstūru summu b. Pēc matemātisko pārveidojumu veikšanas mēs atrodam vērtību es x = bh 3 / 12. Inerces moments ap centrālo asi ir es x =Ix1-a 2 b, šajā gadījumā a=h/ 3,A= (1 / 2)bh. Rezultātā mēs iegūstam:
es x =bh 3 / 12 – (h/3) 3 (1 / 2)bh= bh 3 / 36
Kopumā ass x nav galvenais
es y= bh 3 / 48
25. Inerces momentu saistība par paralēlām asīm
Noskaidrosim attiecības starp inerces momentiem par paralēlām asīm, no kurām viena ir centrālā. Lai to izdarītu, apsveriet šķērsgriezumu ar laukumu A. (10. att.) Pieņemsim, ka ir zināmas posma smaguma centra koordinātas C un inerces momenti Es xc, es yc attiecībā pret centrālajām asīm x c , y c. Šajā gadījumā ir iespējams noteikt inerces momentus attiecībā uz asīm x Un y, paralēli centrālajai un attālināti no centrālās a Un b attiecīgi. Mēs rakstām attiecību paralēlo asu koordinātām:
x= x c+b
y= y c+a
Tad griezuma inerces moments ap asi x tiks rakstīts šādā formā:
Šajā izteiksmē pirmais termins ir inerces moments ap asi x c, otrajā vietā integrālis apzīmē statisko momentu (un attiecībā pret centrālo asi statiskais moments vienmēr ir nulle), trešais vārds ir šķērsgriezuma laukums, kas reizināts ar attāluma starp asīm kvadrātu A. Tādējādi:
es x = es xc + a 2 A
es y = es yc + b 2 A
Inerces moments ap jebkuru asi ir vienāds ar inerces momenta summu ap centrālo asi, kas ir paralēla dotajai, un figūras šķērsgriezuma laukuma reizinājumu ar attāluma kvadrātu. starp asīm.
Esam ieguvuši attiecību inerces momentiem par centrālajām asīm pārejā uz tām paralēlām necentrālajām. Šīs attiecības sauc arī par paralēlās pārneses formulām.
No iegūtajām formulām ir skaidrs, ka inerces moments ap centrālo asi vienmēr ir mazāks par jebkuras tai paralēlas necentrālas inerces momentu.
26. Galvenās inerces asis un galvenie inerces momenti
Caur jebkuru griezuma plaknes punktu var izvilkt bezgalīgu skaitu savstarpēji perpendikulāru asu pāru. Tā kā posma divu aksiālo inerces momentu summa ir polārais moments un ir nemainīga vērtība, tad, pārvietojot koordinātu sistēmu, var izvēlēties tādu asu pozīciju, kurā viens no izvēlētajiem inerces momentiem būs maksimālais , un otrais - minimums. Apsveriet attiecības starp inerces momentiem attiecībā uz asīm x 0, g 0 un inerces momenti par asīm x Un y, pagriezts leņķī α attiecībā pret x 0, g 0 . Ļaujiet mums atrast tādas leņķa α vērtības, pie kurām perpendikulāro asu inerces momenti saņems maksimālās un minimālās vērtības. Lai to izdarītu, mēs atrodam pirmo atvasinājumu attiecībā pret griešanās leņķi no es x , es y un pielīdziniet to nullei (matemātikas noteikums funkcijas galējības atrašanai).
Pēc transformācijām attiecība būs šāda:
Rezultātā iegūtā formula nosaka divu savstarpēji perpendikulāru asu stāvokli, no kurām inerces moments attiecībā pret vienu ir maksimālais, inerces moments attiecībā pret otru ir minimāls. Tādas asis sauc galvenās inerces asis. Par šādām asīm sauc inerces momentus galvenie inerces momenti. Kurā centrbēdzes moments vienāds ar nulli.
Asis, kas iet caur sekcijas smaguma centru, sauc par centrālajām asīm. Praktiskajos aprēķinos interesē galvenie inerces momenti par centrālajām asīm, tos sauc galvenie centrālie inerces momenti, un tādas asis galvenās centrālās asis. Tā kā interesējošas ir tikai centrālās asis, īsuma labad tās vienkārši tiek sauktas par galvenajām asīm, un aksiālie inerces momenti, kas aprēķināti attiecībā uz šādām asīm, tiek saukti vienkārši par galvenajiem inerces momentiem.
Viena no galvenajām inerces asīm ir ass, kas iet caur griezuma plaknes simetrijas centru, otrā ir tai perpendikulāra. Simetrijas ass un jebkura tai perpendikulāra ass veido galveno asu sistēmu. Ja griezumam ir vairākas simetrijas asis (piemēram, aplis, kvadrāts, vienādmalu trīsstūris), tad visas centrālās asis ir galvenās un visi centrālie momenti ir vienādi.
27. Sarežģītu posmu inerces momentu aprēķins
Atrast kompleksa posma ar laukumu inerces momentu A sadaļa ir sadalīta vienkāršā A 1 , A 2 , … A n, kuriem inerces momenti tiek atrasti pēc gatavām formulām vai tabulām.
Sarežģītas figūras inerces moments tiek atrasts kā to inerces momentu summa, kas veido vienkāršas figūras.
es x = es x 1 + es x 2 +… + es xn
Inerces moments ir integrālis visā šķērsgriezuma laukumā,
integrālim tā ir taisnība:
Tāpēc var rakstīt, ka:
Citiem vārdiem sakot, saliktas sekcijas inerces moments ap kādu asi ir šīs sadaļas komponentu inerces momentu summa ap vienu un to pašu asi.
Risinot šāda veida problēmas, tiek ievērots šāds algoritms. Atrodiet plakanas sekcijas smaguma centru un nosakiet galvenās centrālās asis. No tabulām vai izmantojot gatavas formulas, sastāvdaļu inerces momentu vērtības aprēķina attiecībā pret to pašu centrālajām asīm paralēli sekcijas galvenajām centrālajām asīm. Izmantojot paralēlās pārneses formulas, tiek aprēķinātas sekcijas sastāvdaļu inerces momentu vērtības attiecībā pret sekcijas galvenajām asīm. Summējot, tiek noteiktas galveno centrālo inerces momentu vērtības.
Šis noteikums attiecas arī uz centrbēdzes inerces momentu.
28. Griezes momenta jēdziens
Vērpes ir viens no sijas deformācijas veidiem, kurā sijas šķērsgriezumā rodas viens iekšējā spēka faktors, t.s. griezes moments Mk. Šāda veida deformācija rodas, kad uz staru iedarbojas spēku pāris, ko sauc griezes momenti M pieliek perpendikulāri tās garenvirziena asij.
Stieņu, kas noslogota ar griezes momentiem, sauc par vārpstu. Griezes momentu summa, kas iedarbojas uz vārpstu, ir nulle, ja vārpsta griežas vienmērīgi. Griezes momentu var noteikt pēc formulas, ja ir zināma pārraidītā jauda P Un leņķiskais ātrums w.
Ar zināmu vārpstas rotācijas frekvenci leņķisko ātrumu var uzrakstīt kā
Tāpēc griezes momenta izteiksmi var uzrakstīt šādi:
Praktiskajos aprēķinos reāls objekts tiek aizstāts ar aprēķina shēmu. Lai vienkāršotu problēmu, tiek pieņemts, ka rotācijas momenti ir koncentrēti detaļu vidusdaļā, nevis sadalīti pa to virsmu. Patvaļīgas vārpstas sekcijā griezes momentu var noteikt ar sekciju metodi, kad vārpstu garīgi sagriež plakne. Viena no daļām tiek izmesta un tās ietekme tiek aizstāta ar griezes momentu Mk, pēc tam to nosaka no līdzsvara vienādojumiem. Griezes momenta skaitliskā vērtība ir to griezes momentu summa, kas atrodas sekcijas vienā pusē.
Sijas šķērsgriezumos vērpes laikā rodas tikai tangenciālie spriegumi, normālie spēki ir paralēli sijas gareniskajai asij un to momenti ir vienādi ar nulli. Tāpēc griezes momenta definīciju var formulēt šādi: griezes moments ir iekšējo tangenciālo spēku moments, kas rodas sijas šķērsgriezumā attiecībā pret tā garenisko asi.
Aprēķinot stiprību sijas vērpes gadījumā, ir jāatrod bīstamais sijas posms. Ja šķērsgriezuma izmēri gar sijas asi nemainās, tad sekcijas ar maksimālo griezes momentu tiek uzskatītas par bīstamām. Lai atrastu bīstamos posmus, tiek veidotas griezes momenta diagrammas (griezes momenta izmaiņu grafiki visā sijas garumā). Veidojot diagrammas, ir pieņemts pieņemt, ka griezes moments ir pozitīvs, ja tā virziens sakrīt ar pulksteņrādītāja virzienu, ja skatās uz zīmēto posmu. Šis pieņēmums ir patvaļīgs, jo griezes momenta zīmei nav fiziskas nozīmes.
29. Spriegumu noteikšana apaļas vārpstas vērpes laikā
Pētot vārpstu vērpes, tiek veikti šādi pieņēmumi:
– plakano sekciju hipotēze: arī sijas plakanie šķērsgriezumi pēc deformācijas paliek plakani un ir vērsti pa normālu pret savu asi, pagriežoties kādā leņķī attiecībā pret šo asi;
- šķērsgriezumu rādiusi nav izliekti, un to garums paliek nemainīgs;
- gar sijas asi attālumi starp šķērsgriezumiem paliek nemainīgi.
Pamatojoties uz iepriekš minētajiem pieņēmumiem, apaļas vārpstas vērpes var uzskatīt par tīru bīdi. Formulas, kas iegūtas, pamatojoties uz šiem pieņēmumiem, tiek apstiprinātas eksperimentāli.
Apsveriet apļveida sijas ar rādiusu sekcijas vērpi r garums dz. Viens no galiem tiks uzskatīts par fiksētu.
Pagriežot pa leņķi a šķērsgriezumā, bīdes leņķi, kas atrodas uz šādas vārpstas virsmas, nosaka pēc formulas:
Vārpstas sekcijas kopējā pagrieziena leņķa attiecību pret tā garumu sauc par relatīvo vērpšanas leņķi.
Garīgi izdalīsim cilindru ar rādiusu ρ attiecīgajā vārpstas sadaļā, šī cilindra virsmas bīdes leņķis tiek noteikts līdzīgi:
Saskaņā ar Huka likumu bīdes gadījumā bīdes spriegumi ir vienādi ar:
Tādējādi vērpes laikā bīdes spriegumi ir tieši proporcionāli attālumam no sekcijas smaguma centra, un smaguma centrā bīdes spriegumi ir vienādi ar nulli. Tuvojoties vārpstas virsmai, tie iegūst maksimālās vērtības.
30. Uz vārpstu pārnesto momentu aprēķins
Apsveriet apaļas vārpstas ar diametru sekcijas vērpi r un garums dz. Mēs tajā izceļam cilindru ar diametru ρ. Tā kā vērpe ir tīra bīde, normālie spriegumi ir nulle, un bīdes spriegumi, pagriežot leņķī α, tiek sadalīti šādi:
Griezes moments ir definēts kā:
A- šķērsgriezuma laukums. Aizvietojot bīdes spriegumu šajā izteiksmē un ņemot vērā, ka rādiusa integrālis pār šķērsgriezuma laukumu ir sekcijas polārais inerces moments 
, mēs iegūstam:
Aizstājot šo izteiksmi bīdes spriegumu formulā, mēs iegūstam:
Tādējādi bīdes spriegumus definē kā griezes momenta un rādiusa reizinājumu, kas dalīts ar sekcijas polāro momentu. Ir skaidrs, ka punktiem, kas atrodas vienādos attālumos no ass, bīdes spriegumi ir vienādi, maksimālās sprieguma vērtības ir punktos, kas atrodas uz vārpstas virsmas.
Šeit 
ir polārais vērpes pretestības moments.
Apaļai sekcijai
Vērpes stiprības nosacījums ir šāds:
[τ] ir maksimālais pieļaujamais bīdes spriegums.
Šī formula arī ļauj noteikt pieļaujamo griezes momentu vai izvēlēties pieļaujamo vārpstas diametru.
31, Vērpes deformācija. Potenciālā enerģija
Vērpes procesā griezes momenti griežas kopā ar šķērsgriezumu noteiktā leņķī un tajā pašā laikā veic darbu, kas, tāpat kā cita veida deformācijas gadījumā, tiek tērēts, lai radītu noteiktu potenciālās enerģijas rezervi pakļautajā ķermenī. deformāciju un nosaka pēc formulas:
Šī attiecība izriet no lineārā atkarība griezes moments M Uz no griešanās leņķa φ.
Pieliekot slodzi, griezes moments pakāpeniski palielinās, savukārt saskaņā ar Huka likumu griešanās leņķis proporcionāli palielinās. Griezes momenta veiktais darbs ir vienāds ar potenciālo deformācijas enerģiju saskaņā ar enerģijas nezūdamības likumu, tāpēc
Ja iegūtajā proporcijā aizstājam zināmo pagrieziena leņķa formulu, izteiksme būs šāda:
Pakāpeniski mainot griezes momentu vai sijas šķērsgriezumu, potenciālā enerģija ir summa:
Ja griezes moments vai polārie momenti (vai abi vienlaikus) nepārtraukti mainās visā staru sekciju garumā, tad potenciālā enerģija ir integrālis visā garumā
32. Spirālveida atsperu aprēķins
Mašīnbūvē un instrumentācijā plaši tiek izmantotas spirālveida atsperes, kas var būt cilindriskas, konusa vai formas. Visbiežāk izmantotās atsperes ir cilindriskas, izgatavotas no stieples ar apaļu šķērsgriezumu: pagarinājuma atsperes (izgatavotas bez spraugām starp spolēm) un kompresijas atsperes (ar spraugu). Lai vienkāršotu atsperu stingrības un izturības aprēķinu, mēs pieņemsim, ka spoļu slīpuma leņķis ir tik mazs, ka to var neņemt vērā un sekciju gar atsperes asi uzskata par spolei šķērsvirzienu. No līdzsvara nosacījumiem atsperes nogrieztajai daļai ir skaidrs, ka sekcijā rodas divi iekšējie spēka faktori: šķērsspēks. J y = F un griezes momentu M Uz = FD / 2, t.i., spoles sekcijā rodas tikai tangenciālie spriegumi. Mēs pieņemsim, ka bīdes spriegumi, kas saistīti ar šķērsspēku, ir vienmērīgi sadalīti pa sekciju, un bīdes spēki, kas saistīti ar griezes momenta klātbūtni, tiek sadalīti saskaņā ar lineāru likumu un sasniedz maksimālās vērtības griezes galējos punktos. sadaļā. Punkts, kas atrodas vistuvāk atsperes asij, būs vislielākais nospriegojums, un tā spriegums ir vienāds ar:
Atsperes diametra attiecību pret stieples diametru sauc par atsperes indeksu,
c n =D/d
Iegūtā formula ir aptuvena, jo nav ņemta vērā šķērsvirziena spēka ietekme, kā arī tāpēc, ka spoļu izliekums nav ņemts vērā. Ieviesīsim korekcijas koeficientu UZ, atkarībā no atsperes indeksa un spoļu slīpuma leņķa. Tad stiprības nosacījums izpaužas šādā formā:
Pieliekot slodzi, atspere maina savu garumu. Šīs izmaiņas sauc pavasara iegrimeλ. Noteiksim, ar kādu iegrime ir vienāda, ja spoles piedzīvo tikai vērpi. Saskaņā ar Clapeyron formulu ārējo statisko spēku darbs ir:
Potenciālā deformācijas enerģija
Šajā gadījumā
Kur l- attiecīgās atsperes daļas garums;
n- pagriezienu skaits.
Pēc aizstāšanas un matemātisko pārveidojumu veikšanas iegūstam, ka:
33. Nobīdes un spriegumi spirālveida atsperēs
Spirālveida atsperes plaši izmanto mašīnbūvē kā triecienu absorbējošas ierīces vai reversās padeves ierīces. Spirālveida atsperu aprēķins labi parāda pārvietojumu noteikšanas metodi. Spirālveida atsperes iedala spriegojuma, kompresijas un vērpes atsperēs. Spriegošanas un spiedes atsperes noslogo spēki, kas darbojas gar atsperes asi, vērpes atsperes noslogo momenti, kas atrodas plaknē, kas ir perpendikulāra atsperes asij.
Vītu atsperi var uzskatīt par telpiski saliektu stieni ar spirālveida asi. Atsperes formu raksturo šādi parametri: atsperes diametrs D, pagriezienu skaits n, pacēluma leņķis θ un pavasara piķis s definēts pēc formulas:
s= π dtgθ
Parasti atsperes solis ir daudz mazāks par π D, leņķis θ ir diezgan mazs (mazāks par 5°).
Apsveriet spriegošanas-saspiešanas atsperi. Ārējās slodzes ietekmē R katrā šķērsgriezumā, rezultātā iekšējais spēks R un brīdis M=PD / 2, kas atrodas spēku darbības plaknē R. Uz att. 13 parādīti spēki, kas darbojas atsperes šķērsgriezumā.
Kopējā spēka un momenta projekcijas attiecībā pret koordinātu sistēmu, kas saistīta ar sekciju, apraksta ar šādām sakarībām:
M Uz = (PD/ 2) × cosθ,
M ārā= (PD / 2) × sinθ,
J=P× cosθ,
N=P× sinθ.
Pieņemsim spēku R ir vienāds ar 1, tad spēku un momentu attiecība būs šāda:
M k1 = (D/ 2) × cosθ,
M izg1 = (D/ 2) × sinθ,
J 1 = cosθ,
N 1 = grēksθ.
Atradīsim aksiālo nobīdi pavasarī, izmantojot Mora integrāli. Ņemot vērā normālo un šķērsspēku radīto pārvietojumu mazumu, kā arī aksiālo nobīdi, Mohr integrālis šajā gadījumā tiek rakstīts šādi:
kur reizinājums saucējā ir atsperes griezes stīvums;
l ir atsperes darba daļas garums;
l≈ π Dn
Sakarā ar pagriezienu slīpuma leņķi θ mēs pieņemam, ka cos θ = 1, tad
Spriegumi iekšā spirālveida atsperes, kas darbojas saspiešanas vai vērpes režīmā, ir definēti šādi.
Meklēt DPVA inženierzinātņu rokasgrāmatā. Ievadiet savu pieprasījumu:
Papildu informācija no DPVA Inženierzinātņu rokasgrāmatas, proti, citas šīs sadaļas apakšnodaļas:
§ 4.5. VIENKĀRŠAS FORMAS POSU INERCES MOMENTU APRĒĶINS
Kā norādīts 1.5. punktā, sarežģītu sekciju ģeometriskos raksturlielumus nosaka, sadalot tos vairākos vienkāršos skaitļos, kuru ģeometriskos raksturlielumus var aprēķināt, izmantojot atbilstošās formulas vai noteikt no īpašām tabulām. Šīs formulas iegūtas izteiksmju (8.5)-(10.5) tiešas integrācijas rezultātā. To iegūšanas paņēmieni ir aplūkoti turpmāk, izmantojot taisnstūra, trīsstūra un apļa piemērus.
Taisnstūra sekcija
Noteiksim taisnstūra aksiālo inerces momentu ar augstumu h un platumu b attiecībā pret asi, kas iet caur tā pamatni (11.5. att., a). Izvēlēsimies no taisnstūra pa taisnēm, kas ir paralēlas asij elementāru joslu ar augstumu un platumu b.
Šīs sloksnes laukums, attālums no sloksnes līdz asij, ir vienāds ar tiem. Mēs aizvietojam šos lielumus izteiksmē inerces momentam (8.5):
Līdzīgā veidā inerces momentam ap asi var iegūt izteiksmi
Lai noteiktu centrbēdzes inerces momentu, mēs izvēlamies no taisnstūra ar līnijām, kas ir paralēlas asīm (att.
11.5, b), elementāra izmēra laukums. Vispirms noteiksim centrbēdzes inerces momentu nevis visam taisnstūrim, bet tikai vertikālai joslai ar augstumu h un platumu, kas atrodas attālumā no ass
Produkts tiek izņemts no integrālās zīmes, jo visiem apgabaliem, kas pieder pie aplūkotās vertikālās joslas, tas ir nemainīgs.
Pēc tam mēs integrējam izteiksmi diapazonā no līdz
Tagad noteiksim taisnstūra aksiālos inerces momentus ap asīm y un ejot caur smaguma centru paralēli taisnstūra malām (12.5. att.). Šajā gadījumā integrācijas robežas būs no līdz
Taisnstūra centrbēdzes inerces moments ap asīm (12.5. att.) ir vienāds ar nulli, jo šīs asis sakrīt ar tā simetrijas asīm.
trīsstūrveida sekcija
Noteiksim trijstūra aksiālos inerces momentus ap trim paralēlām asīm, kas iet caur tā pamatni (13.5. att., a), smaguma centru (13.5. att., b) un augšpusi (13.5. att., e).
Gadījumam, kad ass iet cauri trijstūra pamatnei (13.5. att., a),
Gadījumam, kad ass iet caur trīsstūra smaguma centru paralēli tā pamatnei (13.5. att., b),
Gadījumā, ja ass iet caur trijstūra virsotni paralēli tā pamatnei (13.5. att., c),
Inerces moments ir daudz lielāks (trīs reizes) nekā inerces moments, jo trijstūra laukuma galvenā daļa atrodas tālāk no ass nekā no ass
Izteiksmes (17.5) - (19.5) iegūst vienādsānu trīsstūrim. Tomēr tie attiecas arī uz vienādsānu trīsstūriem. Salīdzinot, piemēram, attēlā redzamos trīsstūrus. 13.5, a un 13.5, d, no kuriem pirmais ir vienādsānu un otrais nav vienādsānu, mēs konstatējam, ka vietas izmēri un robežas, kurās y mainās (no 0 līdz), abiem trijstūriem ir vienādas. Tāpēc arī inerces momenti viņiem ir vienādi. Līdzīgi var parādīt, ka visu sekciju aksiālie inerces momenti, kas parādīti attēlā. 14.5 ir vienādi. Kopumā sekcijas daļu nobīde, kas ir paralēla kādai asij, neietekmē aksiālā inerces momenta vērtību ap šo asi.
Acīmredzot trijstūra aksiālo inerces momentu summa ap asīm, kas parādītas attēlā. 13.5, a un 13.5, c, jābūt vienādam ar taisnstūra aksiālo inerces momentu ap asi, kas parādīta attēlā. 11.5 a. Tas izriet no tā, ka taisnstūri var uzskatīt par diviem trijstūriem, no kuriem vienam ass iet caur pamatni, bet otram - caur augšpusi paralēli tā pamatnei (15.5. att.).
Patiešām, pēc formulām (17.5) un (19.5)
kas sakrīt ar taisnstūra izteiksmi pēc formulas (12.5).
Sadaļa apļa formā
Nosakīsim apļa aksiālo inerces momentu ap jebkuru asi, kas iet caur tā smaguma centru. No att. 16.5, un tam seko
Acīmredzot attiecībā uz jebkuru asi, kas iet caur apļa centru, aksiālais inerces moments būs vienāds, un tāpēc
Saskaņā ar formulu (11.5) mēs atrodam apļa polāro inerces momentu attiecībā pret tā centru:
Apļa aksiālā inerces momenta formulu var iegūt vienkāršāk, ja vispirms iegūstat formulu tā polārajam inerces momentam attiecībā pret centru (punkts O). Lai to izdarītu, no apļa izvēlamies elementāru gredzenu ar rādiusa un laukuma biezumu (16.5. att., b).
Elementārā gredzena polārais inerces moments attiecībā pret apļa centru, jo visi elementārie laukumi, no kuriem šis gredzens sastāv, atrodas vienādā attālumā no apļa centra. Tāpēc
Šis rezultāts sakrīt ar iepriekš iegūto.
Inerces momentus (polāros un aksiālos) sekcijai ar apļveida gredzena formu ar ārējo diametru d un iekšējo (17.5. att.) var noteikt kā starpību starp atbilstošajiem ārējā un iekšējā inerces momentiem. aprindās.
Gredzena polārais inerces moments, pamatojoties uz formulu (21.5)
vai, ja apzīmēts
Tāpat arī gredzena aksiālajiem inerces momentiem
Inerces moments un pretestības moments
Nosakot būvkonstrukciju šķērsgriezumu, ļoti bieži ir jāzina inerces moments un pretestības moments apskatāmajam konstrukcijas šķērsgriezumam. Kas ir pretestības moments un kā tas ir saistīts ar inerces momentu, ir izklāstīts atsevišķi. Turklāt saspiežamām konstrukcijām jums jāzina arī griešanās rādiusa vērtība. Nosakiet pretestības momentu un inerces momentu, un dažreiz griešanās rādiuss lielākajai daļai šķērsgriezumu ir vienkāršs ģeometriskā forma var būt pēc labi zināmām formulām:
1. tabula. Šķērsgriezuma formas, šķērsgriezuma laukumi, inerces momenti un pretestības momenti diezgan vienkāršu ģeometrisku formu konstrukcijām.
Parasti šīs formulas ir pietiekamas lielākajai daļai aprēķinu, taču ir visādi gadījumi un konstrukcijas sekcija var nebūt tik vienkāršas ģeometriskas formas vai asu novietojums, attiecībā pret kuru inerces moments vai moments Pretestība ir jānosaka, var nebūt vienāda, tad varat izmantot šādas formulas:
2. tabula. Sarežģītu ģeometrisku formu konstrukciju griezumu formas, griezumu laukumi, inerces momenti un pretestības momenti
Kā redzams no 2. tabulas, ir diezgan grūti aprēķināt inerces momentu un pretestības momentu nevienādiem leņķiem, taču tas nav nepieciešams. Nevienādu plauktu un vienādu plauktu velmēšanas leņķiem, kā arī kanāliem, I-sijām un profila caurulēm ir sortimenti. IN sortimenti katram profilam ir dotas inerces momenta un pretestības momenta vērtības.
3. tabula. Inerces momentu un pretestības momentu izmaiņas atkarībā no asu novietojuma.
Slīpu jumta elementu aprēķināšanai var būt nepieciešamas formulas no 3. tabulas.
Būtu jauki ar skaidru piemēru īpaši apdāvinātajiem, piemēram, man, paskaidrot, kas ir inerces moments un ar ko tas tiek ēsts. Specializētajās vietnēs viss ir kaut kā ļoti mulsinoši, un Dokam ir skaidrs talants sniegt informāciju, iespējams, ne vissarežģītāko, bet ļoti kompetenti un skaidri
Principā, kas ir inerces moments un no kurienes tas radies, pietiekami detalizēti ir izskaidrots rakstā “Materiālu stiprības pamati, aprēķinu formulas”, šeit es tikai atkārtošu: “W ir sijas krusta pretestības moments. sekcija, citiem vārdiem sakot, sijas sekcijas saspiežamās vai stiepjamās daļas laukums, kas reizināts ar rezultējošā spēka plecu. Pretestības moments ir jāzina konstrukcijas stiprības aprēķiniem, t.i. robežspriegumiem. Lai noteiktu šķērsgriezuma griešanās leņķus un šķērsgriezuma smaguma centra novirzi (nobīdi), ir jāzina inerces moments, jo maksimālās deformācijas notiek lieces konstrukcijas augšējā un apakšējā slānī, tad inerces momentu var noteikt, reizinot pretestības momentu ar attālumu no smaguma centra sekcijas līdz augšējam vai apakšējam slānim, tāpēc taisnstūrveida posmiem I=Wh/2. Nosakot sarežģītu ģeometrisku formu griezumu inerces momentu, vispirms sarežģīto figūru sadala vienkāršajās, tad nosaka šo figūru šķērsgriezuma laukumus un vienkāršāko figūru inerces momentus, tad vienkāršāko figūru laukumus. skaitļi tiek reizināti ar kvadrātu no attāluma no griezuma kopējā smaguma centra līdz vienkāršākās figūras smaguma centram. Vienkāršākās figūras inerces moments kompleksa griezuma sastāvā ir vienāds ar figūras inerces momentu + attāluma kvadrātu, kas reizināts ar laukumu. Tad iegūtie inerces momenti tiek summēti un iegūts kompleksa posma inerces moments. Bet šie ir visvienkāršākie formulējumi (lai gan, piekrītu, tas joprojām izskatās diezgan viltīgi).
Inerces moments un pretestības moments - Dr. Lom
Nosakot būvkonstrukciju griezumu, ļoti bieži ir jāzina inerces moments un pretestības moments konstrukcijas šķērsgriezumam. Pretestības momentu un enerģijas momentu ir iespējams noteikt lielākajai daļai vienkāršas ģeometriskas formas šķērsgriezumu, izmantojot sen zināmās formulas
5. nodaļa. PLAKŠU SEKCIJU INERCES MOMENTI
Jebkuru plakanu posmu raksturo vairāki ģeometriski raksturlielumi: laukums, smaguma centra koordinātas, statiskais moments, inerces moments utt.
Statiski mirkļi par asīm X Un y ir vienādi:
Statiskos momentus parasti izsaka kubikcentimetros vai metros, un tiem var būt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības. Tiek saukta ass, ap kuru statiskais moments ir nulle centrālais. Tiek saukts centrālo asu krustpunkts sekcijas smaguma centrs. Smaguma centra koordinātu noteikšanas formulas x c Un y c sarežģīta sadaļa, kas sadalīta vienkāršākajās komponentēs, kurām ir zināmas platības A i un smaguma centra atrašanās vieta xci Un y ci, ir veidlapa
Inerces momenta vērtība raksturo stieņa pretestību deformācijai (vērpei, liecei) atkarībā no šķērsgriezuma izmēra un formas. Ir inerces momenti:
ir aksiāli, ko nosaka formas integrāļi
Aksiālie un polārie inerces momenti vienmēr ir pozitīvi un nav
pagriezt uz nulli. Polārais inerces moments Ip ir vienāds ar aksiālo inerces momentu summu Es x Un Es y par jebkuru savstarpēji perpendikulāru asu pāri X Un plkst:
Centrbēdzes inerces moments var būt pozitīvs, negatīvs vai nulle. Inerces momentu izmērs ir cm 4 vai m 4. Formulas vienkāršu posmu inerces momentu noteikšanai par centrālajām asīm ir dotas uzziņu grāmatās. Aprēķinot sarežģītu posmu inerces momentus, bieži tiek izmantotas formulas pārejai no vienkāršu posmu centrālajām asīm uz citām asīm, kas ir paralēlas centrālajām.
kur ir vienkāršu posmu inerces momenti ap centrālajām asīm;
m,n– attālums starp asīm (18. att.).
Rīsi. 18. Noteikt inerces momentus attiecībā uz asīm,
Svarīgas ir sadaļas galvenās centrālās asis. Galvenās centrālās ir divas savstarpēji perpendikulāras asis, kas iet caur sekcijas smaguma centru, attiecībā pret kurām centrbēdzes inerces moments ir nulle, un aksiālajiem inerces momentiem ir galējās vērtības. Apzīmēti galvenie inerces momenti es u(maks.) un Iv(min) un tiek noteiktas pēc formulas
Galveno asu stāvokli nosaka leņķis α, kas atrodams no formulas
Leņķis α ir attēlots no ass ar lielu negalveno inerces momentu; pozitīva vērtība- pretpulksteņrādītājvirzienā.
Ja sekcijai ir simetrijas ass, tad šī ass ir galvenā. Otra galvenā ass ir perpendikulāra simetrijas asij. Praksē bieži tiek izmantotas sekcijas, kas sastāv no vairākiem velmētiem profiliem (I-siju, kanālu, stūri). Šo profilu ģeometriskie raksturlielumi ir norādīti sortimentu tabulās. Nevienādiem un vienādmalu stūriem centrbēdzes inerces momentu ap centrālajām asīm paralēli plauktiem nosaka pēc formulas
Pievērsiet uzmanību galveno centrālo asu apzīmējumiem leņķu sortimenta tabulā. Pierakstīties Iksija stūrim ir atkarīgs no tā atrašanās vietas sadaļā. 19. attēlā parādītas iespējamās leņķa pozīcijas sadaļā un parādītas zīmes par Iksija.
Rīsi. 19. Iespējamie stūra novietojumi sadaļā
Definējiet Es tu, es v un sekcijas galveno centrālo asu novietojums
Sarežģīta sekcija sastāv no diviem velmētiem profiliem. Izvilkums no sortimentu tabulām (5.pielikums) parādīts att. 21.
Kā palīgierīci mēs ņemsim asis, kas iet gar ārējo
kanāla malas (asis x B, y B, skatiet att. 20).Posma smaguma centra koordinātes:
(aprēķiniet paši).
Rīsi. 20. Galveno centrālo inerces asu novietojums
U Un V sarežģīta sadaļa
Kā palīgierīci var izvēlēties, piemēram, kanāla centrālās asis. Tad aprēķinu apjoms tiks nedaudz samazināts.
Aksiālie inerces momenti:
Lūdzu, ņemiet vērā, ka sadaļā atrodas nevienāds stūris
kas nav norādīts vērtēšanas tabulā. Aprēķiniet vērtību pats.
24 180 x 110 x 12
Rīsi. 21. Ritošo profilu ģeometrisko raksturlielumu vērtības:
A- kanāls Nr.24; b– nevienāds stūris 180 x 110 x 12
Centrbēdzes inerces momenti:
- kanālam (ir simetrijas asis);
- par stūri
mīnusa zīme - sakarā ar stūra stāvokli sadaļā;
- visai sadaļai:
Sekojiet zīmju mērķim n Un m. No kanāla centrālajām asīm mēs pārejam uz sekcijas kopējām centrālajām asīm, tāpēc + m2
Sekcijas galvenie inerces momenti:
Sekcijas galveno centrālo asu novietojums:
; α \u003d 55 aptuveni 48 ′;
Daudzumu aprēķina pareizības pārbaude es u, Iv un α tiek iegūts pēc formulas
Šīs formulas leņķi α mēra no ass u.
Aplūkojamai sekcijai ir vislielākā pretestība liecei ap asi u un mazākais - attiecībā pret asi v.
5. nodaļa
1. Aksiālie inerces momenti par savstarpēji perpendikulārām asīm x0g (sakrīt ar trijstūra malām) (2.17. att.).
Noteikt inerces momentu ap asi X atlasiet elementāru apgabalu bezgalīgi maza platuma sloksnes veidā du, paralēli asij X, attālumā plkst no viņas. Vietnes apgabals
. Sloksnes garums b(y) noteikt pēc trīsstūru līdzības ar pamatiem b(y) Un b,
kur 
. Tad 
. Aizstājot to attiecība izteiksmē for Es x(2.21) un nosakot integrācijas robežas "0- h", mēs saņemam
.
Līdzīgi definēts Es y.
2. Centrbēdzes inerces moments ap asīm x0g (sakrīt ar trijstūra malām)
Centrbēdzes inerces moments saskaņā ar definīciju ir vienāds ar
Izmantojam to pašu elementāro platformu kā iepriekš (skat. 2.17. att.). Kā koordināte X mēs pieņemam elementārās zonas smaguma centra koordinātu
.
Mēs aizstājam šo izteiksmi, kā arī formulu dA zem integrāļa un integrējiet diapazonā no 0 līdz h
Tādējādi sekcijas inerces momentu formulas taisnleņķa trijstūra formā attiecībā pret asīm, kas sakrīt ar kājām, ir formā
Ņemiet vērā, ka aplūkojamajā griezumā lielāku interesi rada inerces momenti ap centrālajām asīm (CO), kas ir paralēli trijstūra kājiņām.
3. Inerces momenti attiecībā pret savstarpēji perpendikulāriem CO x c cy c (paralēli trijstūra malām)
Formulas taisnleņķa trijstūra inerces momentiem ap asīm x c cy c(skat. 2.17. att.) ir viegli iegūt, izmantojot izteiksmes (2.24), kā arī teorēmu par paralēla pārsūtīšana asis, saskaņā ar kuru:
aksiālie inerces momenti 
; 
;
centrbēdzes inerces moments 
.
Šeit: A, e ir posma smaguma centra koordinātas koordinātu sistēmā x0g
Aizvietojot šīs izteiksmes, kā arī attiecības (2.24) iepriekš minētajās formulās, mēs iegūstam
(2.25)
Ņemiet vērā, ka sekcijas orientācija attiecībā pret asīm ietekmē centrbēdzes inerces momenta zīmi. Pārdomātai orientācijai izrādījās, ka<0. Действительно, на рис.2.17 видно, что большая часть сечения лежит в области с отрицательным произведением координат X´ plkst(otrā un ceturtā koordinātu ceturtdaļa). Tas nosaka iegūtā centrbēdzes inerces momenta negatīvo zīmi. Zemāk ir shēmas ar dažādām taisnleņķa trīsstūra orientācijām attiecībā pret CO, paralēli malām, kurām ir norādīta zīme.
Pārbaudot konstrukciju daļu stiprību, nākas saskarties ar diezgan sarežģītas formas sekcijām, kurām nav iespējams aprēķināt inerces momentu tik vienkārši, kā to izmantojām taisnstūrim un aplim.
Šāda sadaļa var būt, piemēram, Vērsis (5. att.). A) lieces caurules (lidmašīnu konstrukciju) gredzenveida posms (5. att., b), vārpstas kakla gredzenveida daļa vai pat sarežģītākas daļas. Visas šīs sadaļas var iedalīt vienkāršākajās, piemēram, taisnstūros, trijstūrī, apļos utt. Var parādīt, ka tik sarežģītas figūras inerces moments ir to daļu inerces momentu summa, kurās mēs to sadalām.
5. att. Vērša tipa sadaļas - a) un gredzens b)
Ir zināms, ka jebkuras figūras inerces moments ap asi plkst— plkst vienāds:
Kur z— elementāro laukumu attālums līdz asij plkst—plkst.
Mēs sadalām ņemto laukumu četrās daļās: , , un . Tagad, aprēķinot inerces momentu, ir iespējams grupēt terminus integrandā, lai atsevišķi veiktu summēšanu katram no atlasītajiem četriem laukumiem un pēc tam šīs summas saskaitītu. Integrāļa vērtība no tā nemainīsies.
Mūsu integrālis tiks sadalīts četros integrāļos, no kuriem katrs aptvers vienu no jomām, un:
Katrs no šiem integrāļiem attēlo attiecīgās laukuma daļas inerces momentu ap asi plkst— plkst; Tāpēc
kur ir inerces moments ap asi plkst — plkst platība, - tas pats apgabalam utt.
Iegūto rezultātu var formulēt šādi: sarežģītas figūras inerces moments ir vienāds ar to veidojošo daļu inerces momentu summu. Tādējādi mums ir jāspēj aprēķināt jebkuras figūras inerces moments ap jebkuru asi, kas atrodas tās plaknē.
Šīs problēmas risinājums ir tagadnes un turpmāko divu interviju saturs.
Inerces momenti par paralēlām asīm.
Uzdevums - iegūt vienkāršākās formulas jebkuras figūras inerces momenta aprēķināšanai ap jebkuru asi - tiks atrisināts vairākos posmos. Ja ņemam virkni asu, kas ir paralēlas viena otrai, izrādās, ka var viegli aprēķināt figūras inerces momentus par jebkuru no šīm asīm, zinot tās inerces momentu attiecībā uz asi, kas iet caur figūras smaguma centru. paralēli izvēlētajām asīm.
1. att. Aprēķina modelis inerces momentu noteikšanai paralēlām asīm.
Tiks izsauktas asis, kas iet caur smaguma centru centrālās asis. Ņemsim (1. att.) patvaļīgu skaitli. Uzzīmējiet centrālo asi OU, inerces moments ap šo asi tiks saukts par . Uzzīmējiet asi attēla plaknē paralēli cirvji plkst attālumā no viņas. Atradīsim attiecības starp un - inerces momentu ap asi. Lai to izdarītu, mēs rakstām izteiksmes un . Sadalīsim figūras laukumu apgabalos; katras šādas platformas attālums līdz asīm plkst un zvaniet un. Tad
No 1. attēla mums ir:
Pirmais no šiem trim integrāļiem ir inerces moments ap centrālo asi OU. Otrais ir statiskais moments ap to pašu asi; tas ir vienāds ar nulli, jo ass plkst iet caur figūras smaguma centru. Visbeidzot, trešais integrālis ir vienāds ar figūras laukumu F. Tādējādi
| (1) |
t.i., inerces moments ap jebkuru asi ir vienāds ar inerces momentu ap centrālo asi, kas novilkta paralēli dotajai, plus figūras laukuma reizinājums ar attāluma starp asi kvadrātā. cirvji.
Tas nozīmē, ka mūsu uzdevums tagad ir samazināts līdz tikai centrālo inerces momentu aprēķināšanai; ja mēs tos zinām, mēs varam aprēķināt inerces momentu attiecībā uz jebkuru citu asi. No formulas (1) izriet, ka centrālais inerces moments ir vismazāk starp inerces momentiem par paralēlām asīm un par to mēs iegūstam:
Atradīsim arī centrbēdzes inerces momentu par centrālajām paralēlajām asīm, ja tas ir zināms (1. att.). Tā kā pēc definīcijas
kur: , tad seko
Tā kā pēdējie divi integrāļi ir laukuma statiskie momenti ap centrālajām asīm OU Un Oz tad tie pazūd un tātad:
| (2) |
Centrbēdzes inerces moments attiecībā uz savstarpēji perpendikulāru asu sistēmu, kas ir paralēla centrālajām asīm, ir vienāds ar centrbēdzes inerces momentu ap šīm centrālajām asīm plus figūras laukuma reizinājums ar tās smaguma centra koordinātām attiecībā pret jaunajām asīm.
Attiecības starp inerces momentiem, griežot asis.
Jūs varat zīmēt tik daudz centrālo asis, cik vēlaties. Jautājums ir par to, vai ir iespējams izteikt inerces momentu ap jebkuru centrālo asi atkarībā no inerces momenta par vienu vai diviem noteikti cirvji. Lai to izdarītu, redzēsim, kā mainīsies inerces momenti par divām savstarpēji perpendikulārām asīm, kad tās pagriež leņķī.
Paņemiet jebkuru figūru un izvelciet tās smaguma centru PAR divas savstarpēji perpendikulāras asis OU Un Oz(2. att.).
2. att. Aprēķinu modelis inerces momentu noteikšanai pagrieztām asīm.
Uzzināsim aksiālos inerces momentus par šīm asīm , kā arī centrbēdzes inerces momentu . Uzzīmēsim otro koordinātu asu sistēmu, kas ir slīpa uz pirmo leņķī ; šī leņķa pozitīvais virziens tiks ņemts vērā, kad asis tiks pagrieztas ap punktu PAR pretpulksteņrādītājvirzienā. Izcelsme PAR saglabāt. Izteiksim momentus attiecībā pret otro koordinātu asu sistēmu un caur zināmajiem inerces momentiem un .
Rakstīsim izteiksmes inerces momentiem par šīm asīm:
Līdzīgi:
Lai atrisinātu problēmas, jums var būt nepieciešamas formulas pārejai no vienas ass uz otru centrbēdzes inerces momentam. Griežot asis (2. att.), mums ir:
kur un tiek aprēķināti pēc formulām (14.10); Tad
Pēc transformācijām mēs iegūstam:
| (7) |
Tādējādi, lai aprēķinātu inerces momentu ap jebkuru centrālo asi, ir jāzina inerces momenti un jebkura divu savstarpēji perpendikulāru centrālo asu sistēma OU Un Oz, centrbēdzes inerces moments ap tām pašām asīm un ass slīpuma leņķis pret asi plkst.
Lai aprēķinātu vērtības\u003e, jums jāizvēlas asis plkst Un z un sadaliet figūras laukumu šādās sastāvdaļu daļās, lai varētu veikt šo aprēķinu, izmantojot tikai formulas pārejai no katras no centrālajām asīm. sastāvdaļas uz tām paralēlām asīm. Kā to izdarīt praksē, tiks parādīts tālāk ar piemēru. Ņemiet vērā, ka šajā aprēķinā sarežģītas figūras jāsadala tādās elementārās daļās, kurām, ja iespējams, ir zināmas centrālo inerces momentu vērtības attiecībā pret savstarpēji perpendikulāro asu sistēmu.
Ņemiet vērā, ka atvasināšanas gaita un iegūtie rezultāti nemainītos, ja koordinātu sākumpunktu ņemtu nevis posma smaguma centrā, bet jebkurā citā punktā. PAR. Tādējādi formulas (6) un (7) ir formulas pārejai no vienas savstarpēji perpendikulāru asu sistēmas uz otru, pagriežot kādā leņķī neatkarīgi no tā, vai tās ir centrālās asis vai nē.
No formulām (6) var iegūt vēl vienu attiecību starp inerces momentiem, kad asis tiek pagrieztas. Pievienojot izteicienus un iegūstam
i., inerces momentu summa par jebkurām savstarpēji perpendikulārām asīm plkst Un z nemainās, kad tās tiek pagrieztas. Aizstājot pēdējo izteiksmi un to vērtības, mēs iegūstam:
kur ir platformu attālums dF no punkta PAR. Daudzums, kā jau zināms, ir posma ap punktu polārais inerces moments PAR.
Tādējādi sekcijas polārais inerces moments attiecībā pret jebkuru punktu ir vienāds ar aksiālo inerces momentu summu attiecībā pret savstarpēji perpendikulārām asīm, kas iet caur šo punktu. Tāpēc, pagriežot asis, šī summa paliek nemainīga. Šo atkarību (14.16.) var izmantot, lai vienkāršotu inerces momentu aprēķinu.
Tātad aplim:
Tā kā pēc simetrijas aplim,
kas iepriekš iegūts ar integrāciju.
Līdzīgi plānsienu gredzenveida sekcijai varat iegūt:
Galvenās inerces asis un galvenie inerces momenti.
Kā jau zināms, zinot noteiktai figūrai centrālos inerces momentus , un , ir iespējams aprēķināt inerces momentu attiecībā pret jebkuru citu asi.
Šajā gadījumā par galveno asu sistēmu var pieņemt tādu sistēmu, kurā formulas ir ievērojami vienkāršotas. Proti, var atrast koordinātu asu sistēmu, kurai centrbēdzes inerces moments ir vienāds ar nulli. Faktiski inerces momenti un vienmēr ir pozitīvi, jo pozitīvo terminu summas, savukārt centrbēdzes moments
var būt gan pozitīvi, gan negatīvi, jo termini zydF var būt atšķirīga zīme atkarībā no pazīmēm z Un plkst vienai vai otrai vietnei. Tātad tas var būt nulle.
Tiek sauktas asis, ap kurām izzūd centrbēdzes inerces moments galvenās asis inerce. Ja šādas sistēmas sākumu novieto figūras smaguma centrā, tad tādi būs galvenās centrālās asis. Mēs apzīmēsim šīs asis un ; viņiem
Noskaidrosim, kādā leņķī galvenās asis ir slīpas pret centrālajām asīm y un z (198. att.).
1. att. Aprēķina modelis galveno inerces asu novietojuma noteikšanai.
Labi zināmajā izteiksmē pārejai no asīm yz uz asīm centrbēdzes inerces momentam leņķim piešķiram vērtību ; tad asis un , sakritīs ar galvenajām, un centrbēdzes inerces moments būs vienāds ar nulli:
| (1) |
Šo vienādojumu apmierina divas vērtības , kas atšķiras par 180°, vai divas vērtības , kas atšķiras par 90°. Tātad šis vienādojums dod mums pozīciju divas asis veidojot taisnu leņķi starp tiem. Tās būs galvenās centrālās asis un , kurām .
Izmantojot šo formulu, mēs varam izmantot zināmo , un iegūt formulas galvenajiem inerces momentiem un . Lai to izdarītu, mēs atkal izmantojam aksiālo inerces momentu izteiksmes vispārējā stāvoklī. Viņi definē vērtības un ja tā vietā, lai aizstātu
| (2) |
Iegūtās attiecības var izmantot problēmu risināšanā. Viens no galvenajiem inerces momentiem ir , otrs ir .
Formulas (2) var pārvērst formā, kurā nav vērtības . Izsakot un aizvietojot to vērtības pirmajā formulā (2), mēs iegūstam, veicot aizstāšanu no formulas (1):
Šeit no formulas (1) aizstājot daļu ar
mēs saņemam
| (3) |
To pašu izteiksmi var iegūt, veicot līdzīgu otrās formulas (3) transformāciju.
Galvenajai centrālo asu sistēmai, no kuras jūs varat doties uz jebkuru citu, jūs varat neņemt OU Un Oz, un galvenās asis un ; tad centrbēdzes inerces moments () formulās neparādīsies. Apzīmēsim leņķi, ko veido ass , (2. att.) ar galveno asi , caur . Lai aprēķinātu , un , ejot no asīm un , iepriekš atrastajās izteiksmēs , un , aizstāt leņķi caur , un , un - caur , un . Rezultātā mēs iegūstam:
Savā formā šīs formulas ir pilnīgi līdzīgas normālo un bīdes spriegumu formulām divos savstarpēji perpendikulāros apgabalos elementā, kas pakļauts spriedzei divos virzienos. Mēs norādīsim tikai formulu, kas ļauj mums izvēlēties no divām leņķa vērtībām to, kas atbilst pirmās novirzei. galvenā ass(dodot maks Dž) no ass sākotnējās pozīcijas plkst:
Tagad beidzot varam noformulēt, kas jādara, lai visvienkāršākā veidā varētu aprēķināt figūras inerces momentu ap jebkuru asi. Ir nepieciešams zīmēt asis caur figūras smaguma centru OU Un Oz lai, sadalot figūru vienkāršākajās daļās, mēs varētu viegli aprēķināt momentus, kas iet attālumā (2. att.) no smaguma centra:
Daudzos gadījumos ir iespējams uzreiz uzzīmēt figūras galvenās asis; ja figūrai ir simetrijas ass, tad šī būs viena no galvenajām asīm. Patiešām, atvasinot formulu, mēs jau esam strādājuši ar integrāli , kas ir centrbēdzes inerces moments sekcijas ap asīm plkst Un z; tika pierādīts, ka, ja ass Oz ir simetrijas ass, šis integrālis pazūd.
Tāpēc šajā gadījumā cirvji OU Un Oz ir galvenais sekcijas centrālās inerces asis. Tādējādi simetrijas ass- vienmēr galvenā centrālā ass; otrais mājas centrālā ass iet caur smaguma centru perpendikulāri simetrijas asij.
Piemērs. Atrodiet taisnstūra (3. att.) inerces momentus attiecībā pret asīm un ir vienādi ar:
Inerces momenti attiecībā pret asīm un ir vienādi ar:
Centrbēdzes inerces moments ir
